Sistem Persamaan Linear Homogen dan Non Homogen

Sistem Persamaan Linear (SPL) suatu himpunan berhingga dari persamaan yang peubahnya berpangkat satu, bukan merupakan hasil kali atau akar peubah dan bukan sebagai argument fungsi trigonometri, fungsi logaritma atau fungsi eksponensial.

             Bentuk umum SPL dalam n variabel x1,x2,..., xn dapat dinyatakan dalam bentuk :                               a1x1 + a2x2 + ... + anxn=b, dengan a1,a2,..., an dan b adalah konstanta real.



            SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

Sistem persamaan linear Homogen adalah sistem persamaan linear yang semua suku konstantanya nol sehingga bentuk umum SPL homogen ini sebagai berikut.

                                    a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = 0
                                       a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = 0

                                       a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = 0

SPL homogen selalu konsisten , minimal mempunyai penyelesaian nol {x₁₌x_2=...=x_{n=0}yang disebut penyelesaian trivial. jika terdapat penyelesaian yang lain, disebut penyeleasian tak-trivial. Jadi, sistem persamaan linear homogen mempunyai dua kemungkinan, yaitu:}

                     

                     _{1. Mempunyai penyelesaian Trivial.}

 

2. Mempunyai penyelesaian banyak (tak-trivial)

                              SISTEM PERSAMAAN LINEAR NON HOMOGEN

Sebuah sistem persamaan linear dapat dikatakan non homogen apabila mempunyai bentuk :

                              

                                            a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

                                                      a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

                                                      a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

_{Kemungkinan-kemungkinan pemecahan SPL adalah:}

1.Tidak mempunyai peneyelesaian.

2.Mempunyai tepat satu penyelesaian.

3.Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPL adalah eliminasi Gauss / Gauss-Jordan.

Proses ini dilakukan dengan menggunakan operasi baris elementer atau biasa dikenal dengan OBE.

OBE yang dimaksud meliputi:

1.Mengkalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol.

2.Menukarkan letak 2 baris.

3.Menambahkan perkalian dari satu baris pada baris yang lain.

2.2 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

 Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi.

ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebuk kedalam matriks teragumentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.