Nilai dan Vektor Eigen

Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan  yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Persamaan dan Polinomial Karakteristik

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik () adalah fungsi dengan variabel  yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.

Diketahui sifat identitas matriks di mana , maka

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

Ket:  = matriks n x n,  = nilai Eigen (bernilai skalar),  = matriks identitas, dan  = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

•  tidak memiliki invers atau 
• 

Bukti

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku ⁻¹.

^-1 

^-1 

^-1 

Dari perhitungan di atas, diperoleh  yang bertentangan dengan salah satu syarat.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

                                                         CONTOH SOAL